Στα Μαθηματικά, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι είναι οι αριθμοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας:
Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.
Σε μαθηματικούς όρους, η ακολουθία Fn των αριθμών Φιμπονάτσι ορίζεται από τον αναδρομικό τύπο:
με και . [1]
Η Ακολουθία Φιμπονάτσι ονομάστηκε έτσι από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό και ως Φιμπονάτσι. Το βιβλίο του Φιμπονάτσι, το 1202, με τίτλο Liber Abaci, εισήγαγε την ακολουθία στα Μαθηματικά της Δυτικής Ευρώπης,[2] αν και η ακολουθία είχε περιγραφεί πιο πριν από τους Ινδούς.[3][4][5] (Κατά μία πιο σύγχρονη σύμβαση, η ακολουθία ξεκινάει με F0=0. Στο Liber Abaci, όμως, η ακολουθία ξεκινάει με F1=1, παραλείποντας το αρχικό 0, κάτι που ακολουθείται από κάποιους ακόμη και σήμερα).
Οι Αριθμοί Φιμπονάτσι σχετίζονται με τους Αριθμούς Λούκας δεδομένου ότι είναι συμπληρωματικό ζεύγος της Ακολουθίας Λούκας, ενώ είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι και με τη χρυσή αναλογία. Έχει αρκετές εφαρμογές σε υπολογιστικούς αλγόριθμους, όπως για παράδειγμα η τεχνική αναζήτησης Φιμπονάτσι και η δομή δεδομένων σωρός Φιμπονάτσι. Επιπλέον υπάρχουν γραφικές παραστάσεις οι οποίες ονομάζονται κύβοι Φιμπονάτσι και χρησιμοποιούνται στις παράλληλες διασυνδέσεις και στα κατανεμημένα συστήματα. Τέλος, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι, εμφανίζονται και στη Βιολογία, όπως για παράδειγμα η διακλάδωση στα δέντρα, η διάταξη των φύλλων σε ένα στέλεχος, τα στόμια του καρπού ενός ανανά, η ανάπτυξη της αγκινάρας και πολλά άλλα.
Ιστορία
Η Ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται στα Μαθηματικά των Ινδών και συγκεκριμένα σε Σανσκριτικές Προσωδίες. Στην Σανσκριτική προφορική παράδοση, δίνονταν μεγάλη έμφαση κατά πόσο οι μακρόσυρτες συλλαβές (Μ) συνέπιπταν με τις σύντομες (Σ), και μετρούσαν τα διαφορετικά πρότυπα των Μ και των Σ μέσα σε ένα προκαθορισμένο διάστημα, κάτι που οδήγησε στους αριθμούς Φιμπονάτσι. Ο αριθμός των προτύπων που γίνονται m σύντομες συλλαβές μακρόσυρτες είναι ο αριθμός Φιμπονάτσι Fm+1.
Η ανάπτυξη τη ακολουθίας αποδίδεται στον Pingala (200 π.Χ.), αλλά η πρώτη ξεκάθαρη αναφορά στην Ακολουθία γίνεται στα έργα του Virahanka (700 μ.Χ.), τα έργα του οποίου δε σώζονται, αλλά μεταφέρθηκαν αυτούσια στα έργα του Gopala (1153 μ.Χ.).
Στη Δύση, οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται για πρώτη φορά στο βιβλίο Liber Abaci (1202) του Λεονάρντο της Πίζας, γνωστού και ως Φιμπονάτσι. Ο Φιμπονάτσι παίρνει ως δεδομένο ένα ιδανικό πληθυσμό κουνελιών και κάνει τις εξής υποθέσεις: έχουμε ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών (αρσενικό και θηλυκό) σε ένα χωράφι, τα κουνέλια είναι σε θέση να ζευγαρώσουν σε ηλικία ενός μήνα από τη γέννησή τους, έτσι ώστε στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό να μπορεί να γεννήσει ένα ζευγάρι κουνελιών, τα κουνέλια δε πεθαίνουν ποτέ και κάθε ζευγάρι κουνελιών γεννάει ένα νέο ζευγάρι (ένα αρσενικό και ένα θηλυκό) κάθε μήνα από τον δεύτερο μήνα και μετά. Το ερώτημα που έθεσε ο Φιμπονάτσι ήταν: πόσα ζεύγη κουνελιών θα έχουν γεννηθεί μέσα σε ένα έτος;
• Στο τέλος του πρώτου μήνα, ζευγαρώνουν, αλλά ακόμη υπάρχει μόνο ένα ζεύγος.
• Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννάει ένα νέο ζεύγος, οπότε στο χωράφι υπάρχουν δύο ζεύγη κουνελιών.
• Στο τέλος του τρίτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννάει και δεύτερο ζεύγος, οπότε έχουμε τρία ζεύγη κουνελιών.
• Στο τέλος του τέταρτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννάει ακόμη ένα ζεύγος, το θηλυκό που γεννήθηκε δύο μήνες πριν γεννάει το πρώτο της ζεύγος, οπότε έχουμε πέντε ζεύγη κουνελιών στο χωράφι.
Στο τέλος του νοστού μήνα, το πλήθος των ζευγών των κουνελιών είναι ίσος με το πλήθος των νέων ζεύγων (n-2) προσθέτοντας το πλήθος ζεύγων που υπήρχαν στο χωράφι τον προηγούμενο μήνα (n-1). Αυτός είναι ο ν-οστός αριθμός Φιμπονάτσι.
Ο Leonardo de Pisa ή Fibonacci έζησε κοντά στην πόλη της Bejaia, η οποία αποτελούσε ένα σημαντικό εξαγωγέα κεριού την εποχή του Fibonacci (από εκεί προέρχεται και η γαλλική εκδοχή του ονόματος της πόλης αυτής, “bougie”, που σημαίνει" κερί "στα γαλλικά). Μια πρόσφατη μαθηματικο-ιστορική ανάλυση της περιόδου και της περιοχής στην οποία έζησε ο Fibonacci προτείνει ότι στην πραγματικότητα οι μελισσοκόμοι της Bejaia και οι γνώσεις τους σχετικά με την αναπαραγωγή των μελισσών αποτέλεσαν την πηγή έμπνευσης της ακολουθίας Fibonacci και όχι το ευρύτερα ίσως γνωστό μοντέλο της αναπαραγωγής κουνελιών.
Ο όρος «Ακολουθία Φιμπονάτσι» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Εδουάρδο Λούκας.